微积分学示例

$\frac{5 x}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5 x}{1 + x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

$5 \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $1 + x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$5 \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$5 \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$5 \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 8

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$5 \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 9

组合 $5$ 和 $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{5 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 + 5 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5 - 5 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$\frac{- 5 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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