微积分学示例

$y = x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{3}$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2.5.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

解题步骤 3.6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 3.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 4

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

微积分学 示例

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