微积分学示例

$y = \sqrt[3]{2 x}$

解题步骤 1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.3

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2

因为 $2^{\frac{1}{3}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $2^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$2^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$2^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$2^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$2^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$2^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$2^{\frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 10

组合 $2^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{2^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{2^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

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