微积分学示例

$y = {(x + 3)}^{2} e^{4 x}$

解题步骤 1

将 ${(x + 3)}^{2}$ 重写为 $(x + 3) (x + 3)$ 。

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3) e^{4 x}]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x + 3)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x (x + 3) + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

解题步骤 3.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

解题步骤 3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 x + 3 x + 9) e^{4 x}]$

解题步骤 3.2

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 6 x + 9$ 且 $g (x) = e^{4 x}$ 。

$(x^{2} + 6 x + 9) \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$(x^{2} + 6 x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

解题步骤 5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

解题步骤 5.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \cdot 1) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

解题步骤 6.3

化简表达式。

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解题步骤 6.3.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

解题步骤 6.3.2

将 $4$ 移到 $(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}$ 的左侧。

$4 \cdot ((x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

解题步骤 6.4

根据加法法则， $x^{2} + 6 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 6.6

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 6.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 6.8

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 6.9

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + 0)$

解题步骤 6.10

将 $2 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$(4 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

解题步骤 7.4

合并项。

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解题步骤 7.4.1

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

解题步骤 7.4.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

解题步骤 7.4.3

将 $6$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + 6 \cdot e^{4 x}$

解题步骤 7.4.4

将 $24 x e^{4 x}$ 和 $e^{4 x} (2 x)$ 相加。

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解题步骤 7.4.4.1

移动 $e^{4 x}$ 。

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 2 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

解题步骤 7.4.4.2

将 $24 x e^{4 x}$ 和 $2 x e^{4 x}$ 相加。

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

解题步骤 7.4.5

将 $36 e^{4 x}$ 和 $6 e^{4 x}$ 相加。

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$

解题步骤 7.5

重新排序项。

$4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$

解题步骤 7.6

将 $4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$ 中的因式重新排序。

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$

微积分学 示例

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