微积分学示例

$h (x) = (x - 2) (2 x + 3)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 2$ 且 $g (x) = 2 x + 3$ 。

$(x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3] + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$(x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 2) (2 + 0) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$(x - 2) \cdot 2 + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 移到 $x - 2$ 的左侧。

$2 \cdot (x - 2) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$2 (x - 2) + (2 x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x - 2) + (2 x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 2.9

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (x - 2) + (2 x + 3) (1 + 0)$

解题步骤 2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 (x - 2) + (2 x + 3) \cdot 1$

解题步骤 2.10.2

将 $2 x + 3$ 乘以 $1$ 。

$2 (x - 2) + 2 x + 3$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$2 x + 2 \cdot - 2 + 2 x + 3$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 x - 4 + 2 x + 3$

解题步骤 3.2.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$4 x - 4 + 3$

解题步骤 3.2.3

将 $- 4$ 和 $3$ 相加。

$4 x - 1$

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