微积分学示例

$\ln (\sqrt[5]{x})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{5}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{\frac{1}{5}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{- \frac{4}{5}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ 。

$\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5}$

解题步骤 11

化简表达式。

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解题步骤 11.1

将 $5$ 移到 $x^{\frac{1}{5}}$ 的左侧。

$\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5 \cdot x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{5}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{5 x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{4}{5}}}$

解题步骤 12

化简分母。

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解题步骤 12.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{5}}$ 乘以 $x^{\frac{4}{5}}$ 。

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解题步骤 12.1.1

移动 $x^{\frac{4}{5}}$ 。

$\frac{1}{5 (x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{1}{5}})}$

解题步骤 12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5} + \frac{1}{5}}}$

解题步骤 12.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{5 x^{\frac{4 + 1}{5}}}$

解题步骤 12.1.4

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{5 x^{\frac{5}{5}}}$

解题步骤 12.1.5

用 $5$ 除以 $5$ 。

$\frac{1}{5 x^{1}}$

解题步骤 12.2

化简 $5 x^{1}$ 。

$\frac{1}{5 x}$

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