微积分学示例

$(\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) (x^{2} + 1)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$(\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}]$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}]$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$(\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}]$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}$ 的左侧。

$2 \cdot (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}]$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.3}{x}]$ 。

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.3}{x}])$

解题步骤 2.6

因为 $\frac{1}{3.3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3.3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3.3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3.3}{x}])$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3.3}{x}])$

解题步骤 2.8

将 $\frac{1}{3.3}$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} + \frac{d}{d x} [\frac{3.3}{x}])$

解题步骤 2.9

因为 $3.3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3.3}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3.3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} + 3.3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 2.10

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} + 3.3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} + 3.3 (- x^{- 2}))$

解题步骤 2.12

将 $- 1$ 乘以 $3.3$ 。

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 x^{- 2})$

解题步骤 3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(2 \frac{x}{3.3} + 2 \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$2 \frac{x}{3.3} x + 2 \frac{3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{x}{3.3}$ 。

$\frac{2 x}{3.3} x + 2 \frac{3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{2 x}{3.3}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x \cdot x}{3.3} + 2 \frac{3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4.3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x)}{3.3} + 2 \frac{3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4.3.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{3.3} + 2 \frac{3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 1}}{3.3} + 2 \frac{3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + 2 \frac{3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4.3.7

组合 $2$ 和 $\frac{3.3}{x}$ 。

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + \frac{2 \cdot 3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4.3.8

将 $2$ 乘以 $3.3$ 。

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + \frac{6.6}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4.3.9

组合 $\frac{6.6}{x}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + \frac{6.6 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4.3.10

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.10.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + \frac{6.6 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4.3.10.2

用 $6.6$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + 6.6 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4.3.11

组合 $- 3.3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + 6.6 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} + \frac{- 3.3}{x^{2}})$

解题步骤 4.3.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + 6.6 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - \frac{3.3}{x^{2}})$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - \frac{3.3}{x^{2}}) + 6.6$

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