微积分学示例

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 重写成 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 4.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 10

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 12

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))$

解题步骤 13

化简项。

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解题步骤 13.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

解题步骤 13.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

解题步骤 13.3

组合 $\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 13.4

约去公因数。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 13.5

重写表达式。

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

重新排序 $\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$ 的因式。

$(1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2

将 $1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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解题步骤 14.3.1

将 $\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.3.2

合并。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 14.4

运用分配律。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.5

约去 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 14.5.1

约去公因数。

解题步骤 14.5.2

重写表达式。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.6

将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.7

从 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 14.7.1

将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.7.2

从 $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.7.3

从 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 14.7.4

从 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 14.8

重新排序项。

$\frac{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 14.9

约去公因数。

$\frac{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 14.10

重写表达式。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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