微积分学示例

$x^{e^{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 $x^{e^{x}}$ 重写为 $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $e^{x}$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{e^{x}})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = e^{x} \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $e^{x} \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $e^{x} \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 5

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 6

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 7.2

合并项。

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解题步骤 7.2.1

组合 $e^{e^{x} \ln (x)}$ 和 $\frac{e^{x}}{x}$ 。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 7.2.3

通过指数相加将 $e^{e^{x} \ln (x)}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{x} e^{e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 7.2.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 7.2.4

要将 $e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

解题步骤 7.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} + e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$\frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

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