微积分学示例

$\cos (\arcsin (x))$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x^{2}}]$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 8

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

解题步骤 13

化简项。

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解题步骤 13.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

解题步骤 13.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 13.3

组合 $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14

约去公因数。

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解题步骤 14.1

从 $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 14.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.3

重写表达式。

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

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