微积分学示例

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = a x + b$ 且 $g (x) = c x + d$ 。

$\frac{(c x + d) \frac{d}{d x} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $a x + b$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ 。

$\frac{(c x + d) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(c x + d) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(c x + d) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(c x + d) (a + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $b$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(c x + d) (a + 0) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 2.6

将 $a$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $c x + d$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ 。

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $c$ 对于 $x$ 是常数，所以 $c x$ 对 $x$ 的导数是 $c \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 2.10

将 $c$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 2.11

因为 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以 $d$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + 0)}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 2.12

将 $c$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{c x a + d a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{c x a + d a + (- (a x) - b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{c x a + d a - (a x) c - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 3.4

合并 $c x a + d a - (a x) c - b c$ 中相反的项。

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解题步骤 3.4.1

按照 $c x a$ 和 $- (a x) c$ 重新排列因数。

$\frac{a c x + d a - a c x - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

从 $a c x$ 中减去 $a c x$ 。

$\frac{d a + 0 - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

将 $d a$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d a - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$\frac{a d - b c}{{(d + c x)}^{2}}$

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