微积分学示例

$\tan (\frac{x}{y}) = x + y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\tan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (x + y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{y}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 2.1.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\frac{x}{y}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 2.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.5

组合 $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ 和 $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ 。

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}}$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$1 + y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} = 1 + y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y') = (1 + y') y^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2

运用分配律。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y + \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y') = (1 + y') y^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.3

化简表达式。

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解题步骤 5.2.1.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y') = (1 + y') y^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.3.2

将 $\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y')$ 中的因式重新排序。

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - x y' \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.3.3

移动 $x$ 。

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.3.4

将 $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ 和 $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ 重新排序。

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简 $(1 + y') y^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

运用分配律。

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 1 y^{2} + y' y^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y^{2} + y' y^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

将 $y^{2}$ 和 $y' y^{2}$ 重新排序。

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y' y^{2} + y^{2}$

解题步骤 5.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $y' y^{2}$ 。

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2}$

解题步骤 5.3.2

从等式两边同时减去 $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ 。

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

解题步骤 5.3.3

从 $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2}$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- y' y^{2}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

解题步骤 5.3.3.3

从 $y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

解题步骤 5.3.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

解题步骤 5.3.5

将 $- 1 y^{2}$ 重写为 $- y^{2}$ 。

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

解题步骤 5.3.6

将 $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ 中的每一项除以 $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.3.6.1

将 $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ 中的每一项都除以 $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ 。

$\frac{y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

解题步骤 5.3.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.6.2.1

约去 $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.3.6.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

解题步骤 5.3.6.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.6.3.1

合并为一个分式。

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解题步骤 5.3.6.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} - \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

解题步骤 5.3.6.3.1.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

解题步骤 5.3.6.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.6.3.2.1

从 $y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.3.6.3.2.1.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y \cdot y - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

解题步骤 5.3.6.3.2.1.2

从 $- y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

解题步骤 5.3.6.3.2.1.3

从 $y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (y - 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

解题步骤 5.3.6.3.2.2

将 $- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ 重写为 $- \sec^{2} (\frac{x}{y})$ 。

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

解题步骤 5.3.6.3.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.3.6.3.3.1

从 $- x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y^{2}}$

解题步骤 5.3.6.3.3.2

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})}$

解题步骤 5.3.6.3.3.3

从 $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

解题步骤 5.3.6.3.3.4

重写负数。

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解题步骤 5.3.6.3.3.4.1

将 $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ 重写为 $- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ 。

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

解题步骤 5.3.6.3.3.4.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$

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