微积分学示例

$5 y^{2} = \frac{4 x - 3}{4 x + 3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x - 3}{4 x + 3})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 (y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$10 y y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 4 x - 3$ 且 $g (x) = 4 x + 3$ 。

$\frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x - 3] - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $4 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(4 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(4 x + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(4 x + 3) (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(4 x + 3) (4 + 0) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(4 x + 3) \cdot 4 - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6.2

将 $4$ 移到 $4 x + 3$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot (4 x + 3) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

根据加法法则， $4 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.10

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.11

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12

化简表达式。

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解题步骤 3.2.12.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (4 x + 3) - 4 (4 x - 3)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x - 3)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.3.1

合并 $4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

从 $4 (4 x)$ 中减去 $4 (4 x)$ 。

$\frac{4 \cdot 3 + 0 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将 $4 \cdot 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 \cdot 3 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.2.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{12 + 12}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3.3

将 $12$ 和 $12$ 相加。

$\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 5

将 $10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$ 中的每一项除以 $10 y$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$ 中的每一项都除以 $10 y$ 。

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

解题步骤 5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

解题步骤 5.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

解题步骤 5.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{1}{10 y}$

解题步骤 5.3.2

合并。

$y' = \frac{24 \cdot 1}{{(4 x + 3)}^{2} (10 y)}$

解题步骤 5.3.3

约去 $24$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $24 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{{(4 x + 3)}^{2} (10 y)}$

解题步骤 5.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

从 ${(4 x + 3)}^{2} (10 y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{2 ({(4 x + 3)}^{2} (5 y))}$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{2 ({(4 x + 3)}^{2} (5 y))}$

解题步骤 5.3.3.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{12 \cdot 1}{{(4 x + 3)}^{2} (5 y)}$

解题步骤 5.3.4

化简表达式。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{12}{{(4 x + 3)}^{2} \cdot 5 y}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $5$ 移到 ${(4 x + 3)}^{2}$ 的左侧。

$y' = \frac{12}{5 \cdot {(4 x + 3)}^{2} y}$

解题步骤 5.3.4.3

将 $\frac{12}{5 {(4 x + 3)}^{2} y}$ 中的因式重新排序。

$y' = \frac{12}{5 y {(4 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{5 y {(4 x + 3)}^{2}}$

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