微积分学示例

$e^{y} \cos (x) = 6 + \sin (x y)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (e^{y} \cos (x)) = \frac{d}{d x} (6 + \sin (x y))$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{y}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$e^{y} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

解题步骤 2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{y} y'$

解题步骤 2.5

重新排序项。

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $6 + \sin (x y)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ 。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

解题步骤 3.1.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$0 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$0 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 3.2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$0 + \cos (x y) (x y' + y)$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$0 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

解题步骤 3.3.2

将 $0$ 和 $\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$ 相加。

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

解题步骤 3.3.3

重新排序项。

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$ 中的因式重新排序。

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

将 $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ 中的因式重新排序。

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $x y' \cos (x y)$ 。

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

解题步骤 5.4

在等式两边都加上 $e^{y} \sin (x)$ 。

$y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

解题步骤 5.5

从 $y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $y' e^{y} \cos (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (e^{y} \cos (x)) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

解题步骤 5.5.2

从 $- x y' \cos (x y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

解题步骤 5.5.3

从 $y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y))$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

解题步骤 5.6

将 $y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ 中的每一项除以 $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ 并化简。

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解题步骤 5.6.1

将 $y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ 中的每一项都除以 $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ 。

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

解题步骤 5.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.1

约去 $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

解题步骤 5.6.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

解题步骤 5.6.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

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