微积分学示例

$y = {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = 10 x^{3} + 7$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $10 x^{3} + 7$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.1.3

使用 $10 x^{3} + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.6

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $10 x^{3} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 3.8

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 3.10

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 3.11

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} + 0)$

解题步骤 3.12

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.12.1

将 $30 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2})$

解题步骤 3.12.2

组合 $30$ 和 $\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{30 (3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

解题步骤 3.12.3

将 $3$ 乘以 $30$ 。

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} x^{2}$

解题步骤 3.12.4

组合 $\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$

解题步骤 3.12.5

从 $90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

解题步骤 3.13

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.13.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}$

解题步骤 3.13.2

约去公因数。

$\frac{2 (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.13.3

重写表达式。

$\frac{45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}$

解题步骤 3.13.4

用 $45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 除以 $1$ 。

$45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

解题步骤 3.14

重新排序 $45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 的因式。

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例