微积分学示例

$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

解题步骤 2.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{2}{4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{2}{4}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

解题步骤 2.5

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x)}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

解题步骤 2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

解题步骤 2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{1}{x \cdot 2}$

解题步骤 3.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2 x}$

微积分学 示例

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