微积分学示例

$x y = \cot (x y)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (\cot (x y))$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x y' + y$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.1.2

$\cot (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \csc^{2} (u)$ 。

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \csc^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$- \csc^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 3.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y)$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$- \csc^{2} (x y) (x y') - \csc^{2} (x y) y$

解题步骤 3.6.2

重新排序项。

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x y' + y = - x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简右边。

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解题步骤 5.1.1

将 $- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$ 中的因式重新排序。

$x y' + y = - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y)$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $x y' \csc^{2} (x y)$ 。

$x y' + y + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y)$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x y' + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

解题步骤 5.4

从 $x y' + x y' \csc^{2} (x y)$ 中分解出因数 $x y'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $x y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

解题步骤 5.4.2

从 $x y' \csc^{2} (x y)$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

解题步骤 5.4.3

从 $x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y)$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$

解题步骤 5.5

将 $x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$ 中的每一项除以 $x (1 + \csc^{2} (x y))$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$ 中的每一项都除以 $x (1 + \csc^{2} (x y))$ 。

$\frac{x y' (1 + \csc^{2} (x y))}{x (1 + \csc^{2} (x y))} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y' (1 + \csc^{2} (x y))}{x (1 + \csc^{2} (x y))} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

解题步骤 5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (1 + \csc^{2} (x y))}{1 + \csc^{2} (x y)} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

解题步骤 5.5.2.2

约去 $1 + \csc^{2} (x y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (1 + \csc^{2} (x y))}{1 + \csc^{2} (x y)} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

解题步骤 5.5.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

解题步骤 5.5.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} - \frac{y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} - \frac{y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

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