微积分学示例

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x^{2} + 3$ 且 $g (x) = 4 x^{2} + 5$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $2 x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $4$ 移到 $4 x^{2} + 5$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

根据加法法则， $4 x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.11

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.12

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.12.1

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.12.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

运用分配律。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

运用分配律。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

运用分配律。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.5.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.5.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.3.5.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.5.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.3.5.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.5

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.6

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.2

合并 $16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.3.5.2.1

从 $16 x^{3}$ 中减去 $16 x^{3}$ 。

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.2.2

将 $20 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.3

从 $20 x$ 中减去 $24 x$ 。

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ 。

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$4 x = 0$

解题步骤 2.3

将 $4 x = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $4 x = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x = 0$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{2 {(0)}^{2} + 3}{4 {(0)}^{2} + 5}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

解题步骤 4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{3}{4 \cdot 0 + 5}$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3}{0 + 5}$

解题步骤 4.1.2.2.3

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$\frac{3}{5}$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(0, \frac{3}{5})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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