微积分学示例

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 6$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3 x^{2} + 6 x - 24$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} + 6 x - 24$ 。

$3 x^{2} + 6 x - 24$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} + 6 x - 24 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} + 6 x - 24 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

从 $3 x^{2} + 6 x - 24$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 6 x - 24 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 24 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 24$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $3 x^{2} + 3 (2 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 8$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} + 2 x - 8) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 8$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $2$ 。

$- 2, 4$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$3 ((x - 2) (x + 4)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$3 (x - 2) (x + 4) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.5

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 2.6

最终解为使 $3 (x - 2) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 4$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $2, - 4$ 。

$2, - 4$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 4)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 5) = 3 {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) - 24$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 5) = 3 \cdot 25 + 6 (- 5) - 24$

解题步骤 5.2.1.2

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$f' (- 5) = 75 + 6 (- 5) - 24$

解题步骤 5.2.1.3

将 $6$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (- 5) = 75 - 30 - 24$

解题步骤 5.2.2

通过减去各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

从 $75$ 中减去 $30$ 。

$f' (- 5) = 45 - 24$

解题步骤 5.2.2.2

从 $45$ 中减去 $24$ 。

$f' (- 5) = 21$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $21$ 。

$21$

解题步骤 5.3

在 $x = - 5$ 处，导数为 $21$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 4)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 4)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 4, 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) - 24$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 + 6 (- 1) - 24$

解题步骤 6.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 1) = 3 + 6 (- 1) - 24$

解题步骤 6.2.1.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = 3 - 6 - 24$

解题步骤 6.2.2

通过减去各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

从 $3$ 中减去 $6$ 。

$f' (- 1) = - 3 - 24$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 3$ 中减去 $24$ 。

$f' (- 1) = - 27$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 27$ 。

$- 27$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $- 27$ 。由于其值为负，函数在 $(- 4, 2)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 4, 2)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(2, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} + 6 (3) - 24$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

通过指数相加将 $3$ 乘以 ${(3)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1.1

将 $3$ 乘以 ${(3)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} + 6 (3) - 24$

解题步骤 7.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (3) = 3^{1 + 2} + 6 (3) - 24$

解题步骤 7.2.1.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (3) = 3^{3} + 6 (3) - 24$

解题步骤 7.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (3) = 27 + 6 (3) - 24$

解题步骤 7.2.1.3

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$f' (3) = 27 + 18 - 24$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

将 $27$ 和 $18$ 相加。

$f' (3) = 45 - 24$

解题步骤 7.2.2.2

从 $45$ 中减去 $24$ 。

$f' (3) = 21$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $21$ 。

$21$

解题步骤 7.3

在 $x = 3$ 处，导数为 $21$ 。由于其值为正，函数在 $(2, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(2, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 4), (2, \infty)$

递减于： $(- 4, 2)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例