微积分学示例

$y = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$

解题步骤 1

将 $y = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36 \cdot 1$

解题步骤 2.1.3.3

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 12 x - 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

解题步骤 2.2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 36)$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36)$

解题步骤 2.2.3.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (- 36)$

解题步骤 2.2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.2.4.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 x - 12 + 0$

解题步骤 2.2.4.2

将 $6 x - 12$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x - 12$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $6 x - 12$ 。

$6 x - 12$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x - 12 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x - 12 = 0$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $12$ 。

$6 x = 12$

解题步骤 3.3

将 $6 x = 12$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $6 x = 12$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{12}{6}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

用 $12$ 除以 $6$ 。

$x = 2$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 代入 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = {(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = 8 - 6 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = 8 - 6 \cdot 4 - 36 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$f (2) = 8 - 24 - 36 \cdot 2$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 36$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 8 - 24 - 72$

解题步骤 4.1.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

从 $8$ 中减去 $24$ 。

$f (2) = - 16 - 72$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $- 16$ 中减去 $72$ 。

$f (2) = - 88$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $- 88$ 。

$- 88$

解题步骤 4.2

通过将 $2$ 代入 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ 中求得的点为 $(2, - 88)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(2, - 88)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 2)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1.9$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.9) = 6 (1.9) - 12$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $6$ 乘以 $1.9$ 。

$f'' (1.9) = 11.4 - 12$

解题步骤 6.2.2

从 $11.4$ 中减去 $12$ 。

$f'' (1.9) = - 0.6$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 0.6$ 。

$- 0.6$

解题步骤 6.3

在 $1.9$ ，二阶导数为 $- 0.6$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, 2)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 2)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(2, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.1) = 6 (2.1) - 12$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $6$ 乘以 $2.1$ 。

$f'' (2.1) = 12.6 - 12$

解题步骤 7.2.2

从 $12.6$ 中减去 $12$ 。

$f'' (2.1) = 0.6$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $0.6$ 。

$0.6$

解题步骤 7.3

在 $2.1$ 处，二阶导数为 $0.6$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(2, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(2, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(2, - 88)$ 。

$(2, - 88)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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