微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2.4

组合 $\frac{4}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.5.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2.5.2.2

约去公因数。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2.5.2.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2.5.2.4

用 $2 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $2 x^{3} + 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $6 x^{2} + 12 x$ 。

$6 x^{2} + 12 x$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{2} + 12 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{2} + 12 x = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $6 x^{2} + 12 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x) + 12 x = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从 $12 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $6 x (x) + 6 x (2)$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x + 2) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $6 x (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - 2)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = 6 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = 6 \cdot 16 + 12 (- 4)$

解题步骤 4.2.1.2

将 $6$ 乘以 $16$ 。

$f'' (- 4) = 96 + 12 (- 4)$

解题步骤 4.2.1.3

将 $12$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (- 4) = 96 - 48$

解题步骤 4.2.2

从 $96$ 中减去 $48$ 。

$f'' (- 4) = 48$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $48$ 。

$48$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - 2)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 2)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(- 2, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

解题步骤 5.2.1.3

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- 1) = 6 - 12$

解题步骤 5.2.2

从 $6$ 中减去 $12$ 。

$f'' (- 1) = - 6$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 6$ 。

$- 6$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 2, 0)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 1)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 2, 0)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(0, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = 6 {(2)}^{2} + 12 (2)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2) = 6 \cdot 4 + 12 (2)$

解题步骤 6.2.1.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f'' (2) = 24 + 12 (2)$

解题步骤 6.2.1.3

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$f'' (2) = 24 + 24$

解题步骤 6.2.2

将 $24$ 和 $24$ 相加。

$f'' (2) = 48$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $48$ 。

$48$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(0, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (2)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 2)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 2, 0)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

微积分学 示例

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