微积分学示例

$y = 25 - x^{2}$ , $[- 5, 5]$

解题步骤 1

将 $y = 25 - x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 25 - x^{2}$

解题步骤 2

求 $f (x) = 25 - x^{2}$ 的导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $25 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 2.1.3

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$f' (x) = - 2 x$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

$f' (x)$ 在 $[- 5, 5]$ 上连续。

$f' (x)$ 是连续的

解题步骤 5

函数 $f'$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 6

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (\int_{- 5}^{5} - 2 x d x)$

解题步骤 7

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \int_{- 5}^{5} x d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{5}))$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{5}))$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $5$ 处和在 $- 5$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.2

化简。

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解题步骤 9.2.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 9.2.2.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{25}{2} - \frac{25}{2}))$

解题步骤 9.2.2.3

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{25 - 25}{2})$

解题步骤 9.2.2.4

从 $25$ 中减去 $25$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{0}{2}))$

解题步骤 9.2.2.5

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.5.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{2 (0)}{2})$

解题步骤 9.2.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.2.5.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.2.5.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{0}{1}))$

解题步骤 9.2.2.5.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \cdot 0)$

解题步骤 9.2.2.6

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (0)$

解题步骤 10

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot 0$

解题步骤 11

将 $\frac{1}{10}$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = 0$

解题步骤 12

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