微积分学示例

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{1}{x}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ ，以便 $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{1}{x}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{1}{x}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{- 2}$

解题步骤 1.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \frac{1}{x}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

解题步骤 1.3

用 $1$ 除以 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \frac{1}{x}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - e^{u} d u$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} e^{u} d u$

解题步骤 3

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- (e^{u}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $e^{u}$ 在 $\frac{1}{2}$ 处和在 $1$ 处的值。

$- ((e^{\frac{1}{2}}) - e^{1})$

解题步骤 4.2

化简。

$- (e^{\frac{1}{2}} - e)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$- e^{\frac{1}{2}} - - e$

解题步骤 5.2

乘以 $- - e$ 。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- e^{\frac{1}{2}} + 1 e$

解题步骤 5.2.2

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

小数形式：

$1.06956055 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

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