微积分学示例

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 x^{2} y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} + y^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x^{2} + y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

解题步骤 2.5.2

重新排序 $(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ 的因式。

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (x^{2} y' + y (2 x))$

解题步骤 3.5

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$4 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$4 (x^{2} y') + 4 (2 y x)$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{2} y' + 8 y x$

解题步骤 3.6.3

重新排序项。

$4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简 $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ 。

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解题步骤 5.1.1

重写。

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.2

通过加上各个零进行化简。

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

运用分配律。

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.3.2

运用分配律。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.3.3

运用分配律。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.4

化简每一项。

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解题步骤 5.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.4.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.4.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.4.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.4.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.4.7

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.4.7.1

移动 $y^{2}$ 。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.4.7.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.1.4.7.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.4.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.4.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.1.4.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = 4 x^{2} y' + 8 x y$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $4 x^{2} y'$ 。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y$

解题步骤 5.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $4 x^{3}$ 。

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3}$

解题步骤 5.3.2

从等式两边同时减去 $4 x y^{2}$ 。

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

解题步骤 5.4

从 $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y'$ 中分解出因数 $4 y'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $4 y y' x^{2}$ 中分解出因数 $4 y'$ 。

$4 y' (y x^{2}) + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

解题步骤 5.4.2

从 $4 y^{3} y'$ 中分解出因数 $4 y'$ 。

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

解题步骤 5.4.3

从 $- 4 x^{2} y'$ 中分解出因数 $4 y'$ 。

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

解题步骤 5.4.4

从 $4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3}$ 中分解出因数 $4 y'$ 。

$4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

解题步骤 5.4.5

从 $4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2})$ 中分解出因数 $4 y'$ 。

$4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

解题步骤 5.5

将 $4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ 中的每一项除以 $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ 中的每一项都除以 $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ 。

$\frac{4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

解题步骤 5.5.2.2

约去 $y x^{2} + y^{3} - x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.5.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

化简项。

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解题步骤 5.5.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1.1.1

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.1.1

从 $8 x y$ 中分解出因数 $4$ 。

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.2

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.2.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.2.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.2.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.4

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.4.1

从 $- 4 x y^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.4.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

解题步骤 5.5.3.1.1.4.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.1.1.5

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.1.2

合并为一个分式。

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解题步骤 5.5.3.1.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{2 x y - x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.1.2.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{2 x y - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.5.3.2.1

从 $2 x y - x^{3} - x y^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.5.3.2.1.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (2 y) - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.1.2

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.1.3

从 $- x y^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.1.4

从 $x (2 y) + x (- x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.1.5

从 $x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

解题步骤 5.5.3.2.2

将 $- 1 y^{2}$ 重写为 $- y^{2}$ 。

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

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