微积分学示例

$\int_{1}^{6} x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

解题步骤 1

使 $u = 5 x^{2} + 4$ 。然后使 $d u = 10 x d x$ ，以便 $\frac{1}{10} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 5 x^{2} + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $5 x^{2} + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $5 x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10 x + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $10 x$ 和 $0$ 相加。

$10 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 5 x^{2} + 4$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 5 \cdot 1^{2} + 4$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = 5 \cdot 1 + 4$

解题步骤 1.3.1.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 5 + 4$

解题步骤 1.3.2

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$u_{lower} = 9$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 5 x^{2} + 4$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 5 \cdot 6^{2} + 4$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 5 \cdot 36 + 4$

解题步骤 1.5.1.2

将 $5$ 乘以 $36$ 。

$u_{upper} = 180 + 4$

解题步骤 1.5.2

将 $180$ 和 $4$ 相加。

$u_{upper} = 184$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 184$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{9}^{184} \sqrt{u} \frac{1}{10} d u$

解题步骤 2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{10}$ 。

$\int_{9}^{184} \frac{\sqrt{u}}{10} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{10}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{10}$ 移到积分外。

$\frac{1}{10} \int_{9}^{184} \sqrt{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{10} \int_{9}^{184} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{10} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{184}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $184$ 处和在 $9$ 处的值。

$\frac{1}{10} ((\frac{2}{3} \cdot 184^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $184^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 6.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 6.2.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

解题步骤 6.2.5

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

解题步骤 6.2.6

将 $27$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

解题步骤 6.2.7

组合 $- 27$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

解题步骤 6.2.8

将 $- 27$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

解题步骤 6.2.9

约去 $- 54$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.9.1

从 $- 54$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

解题步骤 6.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.9.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

解题步骤 6.2.9.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

解题步骤 6.2.9.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

解题步骤 6.2.9.2.4

用 $- 18$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{10} \cdot - 18$

解题步骤 7.2

合并。

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{10} \cdot - 18$

解题步骤 7.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 (5)} \cdot - 18$

解题步骤 7.3.2

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 9)$

解题步骤 7.3.3

约去公因数。

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 9)$

解题步骤 7.3.4

重写表达式。

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{5} \cdot - 9$

解题步骤 7.4

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $- 9$ 。

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

解题步骤 7.5

化简每一项。

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解题步骤 7.5.1

从 $1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{10 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

解题步骤 7.5.2

约去公因数。

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解题步骤 7.5.2.1

从 $10 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{2 (5 \cdot 3)} + \frac{- 9}{5}$

解题步骤 7.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{2 (5 \cdot 3)} + \frac{- 9}{5}$

解题步骤 7.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1 \cdot (184^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

解题步骤 7.5.3

将 $184^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

解题步骤 7.5.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} + \frac{- 9}{5}$

解题步骤 7.5.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{9}{5}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{9}{5}$

小数形式：

$164.59316225 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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