微积分学示例

$\int_{1}^{3} x^{2} \ln (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x^{2}$ 。

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{3}}{x} d x)$

解题步骤 4.2

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

解题步骤 4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 4.2.2.3

约去公因数。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 4.2.2.4

重写表达式。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{1} d x)$

解题步骤 4.2.2.5

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

解题步骤 6.2

计算 $\frac{1}{3} x^{3}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\ln (3) \cdot 27}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.2

将 $27$ 移到 $\ln (3)$ 的左侧。

$\frac{27 \cdot \ln (3)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.3

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1

从 $27 \ln (3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{9 \ln (3)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.3.2.4

用 $9 \ln (3)$ 除以 $1$ 。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.4

一的任意次幂都为一。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.5

将 $\ln (1)$ 乘以 $1$ 。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.6

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.7

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $27$ 。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.8

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.8.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.8.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.8.2.2

约去公因数。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.8.2.3

重写表达式。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.8.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.9

一的任意次幂都为一。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

解题步骤 6.3.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3})$

解题步骤 6.3.11

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 6.3.12

组合 $9$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 6.3.13

在公分母上合并分子。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

解题步骤 6.3.14

化简分子。

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解题步骤 6.3.14.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

解题步骤 6.3.14.2

从 $27$ 中减去 $1$ 。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{26}{3}$

解题步骤 6.3.15

将 $\frac{26}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{3 \cdot 3}$

解题步骤 6.3.16

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{9}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$9 \ln (3) - \frac{0}{3} - \frac{26}{9}$

解题步骤 7.1.2

用 $0$ 除以 $3$ 。

$9 \ln (3) - 0 - \frac{26}{9}$

解题步骤 7.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$9 \ln (3) + 0 - \frac{26}{9}$

解题步骤 7.2

将 $9 \ln (3)$ 和 $0$ 相加。

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

小数形式：

$6.99862170 \dots$

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