微积分学示例

$\int y^{2} \sqrt{y} d y$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int y^{2} y^{\frac{1}{2}} d y$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int y^{2 + \frac{1}{2}} d y$

解题步骤 1.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int y^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d y$

解题步骤 1.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int y^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} d y$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$\int y^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} d y$

解题步骤 1.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int y^{\frac{4 + 1}{2}} d y$

解题步骤 1.2.5.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\int y^{\frac{5}{2}} d y$

解题步骤 2

根据幂法则， $y^{\frac{5}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}} + C$

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