微积分学示例

$\int x^{9} e^{x^{10}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ 重写为 ${u_{1}}^{4}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $8$ 。

$\int {u_{1}}^{\frac{8}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.2

约去公因数。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.3

重写表达式。

$\int {u_{1}}^{\frac{4}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ 重写为 ${u_{1}}^{5}$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $10$ 。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{10}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4.2.2

约去公因数。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4.2.3

重写表达式。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{5}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{1}}^{4}$ 。

$\int \frac{{u_{1}}^{4}}{2} e^{{u_{1}}^{5}} d u_{1}$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{{u_{1}}^{4}}{2}$ 和 $e^{{u_{1}}^{5}}$ 。

$\int \frac{{u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}} d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = {u_{1}}^{5}$ 。然后使 $d u_{2} = 5 {u_{1}}^{4} d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{5} d u_{2} = {u_{1}}^{4} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{5}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 ${u_{1}}^{5}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 {u_{1}}^{4}$

解题步骤 4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

解题步骤 5

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{5 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{10} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 8

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{10} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 9

化简。

$\frac{1}{10} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 10

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 10.1

使用 ${u_{1}}^{5}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{10} e^{{u_{1}}^{5}} + C$

解题步骤 10.2

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{10} e^{{(x^{2})}^{5}} + C$

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