微积分学示例

$\int x^{2} e^{- 3 x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{- 3 x}$ 。

$x^{2} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

解题步骤 2

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解题步骤 2.1

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$x^{2} (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (2 x) d x$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{3} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{3} \cdot 2$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{- 3 x} (x) d x)$

解题步骤 4

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (x) d x)$

解题步骤 4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

解题步骤 4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x)$

解题步骤 4.5

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} \int e^{- 3 x} (x) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 3 x}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

解题步骤 6

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解题步骤 6.1

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

解题步骤 6.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

解题步骤 6.3

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

解题步骤 8

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

解题步骤 8.2

将 $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x)$

解题步骤 10

使 $u = - 3 x$ 。然后使 $d u = - 3 d x$ ，以便 $- \frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u = - 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $- 3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 10.1.2

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3$

解题步骤 10.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u)$

解题步骤 11

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解题步骤 11.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u)$

解题步骤 11.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u}}{3} d u)$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u))$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)))$

解题步骤 14

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解题步骤 14.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

解题步骤 14.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

解题步骤 15

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

解题步骤 16

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解题步骤 16.1

将 $- \frac{x^{2} e^{- 3 x}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ 重写为 $- \frac{1}{3} x^{2} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ 。

$- \frac{1}{3} x^{2} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2

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解题步骤 16.2.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{x^{2}}{3} e^{- 3 x} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.2

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{x^{2}}{3}$ 。

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.4

组合 $e^{- 3 x}$ 和 $\frac{x}{3}$ 。

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

解题步骤 16.2.5

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) + C$

解题步骤 16.2.6

要将 $\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

解题步骤 16.2.7

组合 $\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{e^{- 3 x} x^{2}}{3} + \frac{\frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 16.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 16.2.9

组合 $3$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

解题步骤 16.2.10

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{6}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

解题步骤 16.2.11

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.11.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

解题步骤 16.2.11.2

约去公因数。

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解题步骤 16.2.11.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

解题步骤 16.2.11.2.2

约去公因数。

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

解题步骤 16.2.11.2.3

重写表达式。

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + \frac{2}{1} (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

解题步骤 16.2.11.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9})}{3} + C$

解题步骤 17

使用 $- 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9})}{3} + C$

解题步骤 18

重新排序项。

$\frac{1}{3} (- e^{- 3 x} x^{2} + 2 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x})) + C$

微积分学 示例

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