微积分学示例

$\int x^{2} e^{5 x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{5 x}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x$

解题步骤 2

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{5} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5} \cdot 2$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 2 \int e^{5 x} (x) d x)$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $2$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} \int e^{5 x} (x) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{5 x}$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

解题步骤 6

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

解题步骤 6.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x))$

解题步骤 8

使 $u = 5 x$ 。然后使 $d u = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = 5 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 8.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u)$

解题步骤 9

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

解题步骤 11

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u)$

解题步骤 11.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u)$

解题步骤 12

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))$

解题步骤 13

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解题步骤 13.1

将 $\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))$ 重写为 $\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$ 。

$\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

解题步骤 13.2

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解题步骤 13.2.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{5} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

解题步骤 13.2.2

组合 $\frac{x^{2}}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

解题步骤 13.2.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x}{5} e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

解题步骤 13.2.4

组合 $\frac{x}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{u}) + C$

解题步骤 13.2.5

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{25}$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) + C$

解题步骤 13.2.6

要将 $- \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) \cdot \frac{5}{5} + C$

解题步骤 13.2.7

组合 $- \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} + \frac{- \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) \cdot 5}{5} + C$

解题步骤 13.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25}) \cdot 5}{5} + C$

解题步骤 13.2.9

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x} - 5 (\frac{2}{5}) (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

解题步骤 13.2.10

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{- 5 \cdot 2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

解题步骤 13.2.11

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{- 10}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

解题步骤 13.2.12

约去 $- 10$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.12.1

从 $- 10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

解题步骤 13.2.12.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.12.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

解题步骤 13.2.12.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

解题步骤 13.2.12.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{2} e^{5 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

解题步骤 13.2.12.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x} - 2 (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{u}}{25})}{5} + C$

解题步骤 14

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{2} e^{5 x} - 2 (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{5 x}}{25})}{5} + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$\frac{1}{5} (x^{2} e^{5 x} - 2 (\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{5 x})) + C$

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