微积分学示例

$\int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} + 4$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 5

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

解题步骤 6

使用 $x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

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