微积分学示例

$\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$

解题步骤 1

将 $e^{3 x}$ 和 $\cos (2 x)$ 重新排序。

$\int \cos (2 x) e^{3 x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (2 x)$ ， $d v = e^{3 x}$ 。

$\cos (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3} \cdot - 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3} \cdot - 2$ 移到积分外。

$\cos (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$\cos (2 x) \frac{e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

解题步骤 4.2

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

解题步骤 4.4

将 $e^{3 x}$ 和 $\sin (2 x)$ 重新排序。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int \sin (2 x) e^{3 x} d x)$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (2 x)$ ， $d v = e^{3 x}$ 。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 \cos (2 x)) d x))$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{3} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3} \cdot 2$ 移到积分外。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) \frac{e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

解题步骤 7.2

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

解题步骤 7.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2}{3} \cdot \frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

解题步骤 7.5

将 $\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3}$ 乘以 $\frac{- 2}{3}$ 。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{3 \cdot 3} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

解题步骤 7.6

乘。

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解题步骤 7.6.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

解题步骤 7.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + 1 (\frac{- 2}{3}) (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)$

解题步骤 7.6.3

将 $\frac{- 2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 2}{3} (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)$

解题步骤 7.7

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{- 2}{3}$ 。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{2 \cdot - 2}{3 \cdot 3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

解题步骤 7.8

乘。

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解题步骤 7.8.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 4}{3 \cdot 3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

解题步骤 7.8.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 4}{9} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

解题步骤 8

求解 $\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$ ，我们发现 $\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9}}{\frac{13}{9}}$ 。

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

将 $- 2$ 移到 $\sin (2 x) e^{3 x}$ 的左侧。

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2 \cdot (\sin (2 x) e^{3 x})}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

解题步骤 9.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - - \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

解题步骤 9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + 1 \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

解题步骤 9.1.4

将 $\frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

解题步骤 9.1.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{13}{9}$ 。

$(\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}) \frac{9}{13} + C$

解题步骤 9.2

将 $(\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}) \frac{9}{13} + C$ 重写为 $(\frac{1}{3} \cos (2 x) e^{3 x} + \frac{2}{9} \sin (2 x) e^{3 x}) \frac{9}{13} + C$ 。

$(\frac{1}{3} \cos (2 x) e^{3 x} + \frac{2}{9} \sin (2 x) e^{3 x}) \frac{9}{13} + C$

微积分学 示例

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