微积分学示例

$\int \sec^{3} (x) \tan^{3} (x) d x$

解题步骤 1

因式分解出 $\tan^{2} (x)$ 。

$\int \sec^{3} (x) (\tan^{2} (x) \tan (x)) d x$

解题步骤 2

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$\int \sec^{3} (x) ((- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x)) d x$

解题步骤 3

使 $u = \sec (x)$ 。然后使 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = \sec (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\sec (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{2} (- 1 + u^{2}) d u$

解题步骤 4

乘以 $u^{2} (- 1 + u^{2})$ 。

$\int u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$\int - 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.2

将 $- 1 u^{2}$ 重写为 $- u^{2}$ 。

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.3

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

解题步骤 5.3.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

解题步骤 10.2

化简。

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

解题步骤 11

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (x) + \frac{1}{5} \sec^{5} (x) + C$

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