微积分学示例

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

解题步骤 1

使 $x = 2 \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $2 \sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $2 \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $4 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

将 $4 \tan^{2} (t)$ 重写为 ${(2 \tan (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2

约去 $2 \sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $2 \sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $2 \sec (t)$ 。

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2.3

重写表达式。

$\int 2 \tan (t) \tan (t) d t$

解题步骤 3

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 2 \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 8

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$2 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$2 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$2 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

解题步骤 11

因为 $\tan (t)$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 的积分为 $\tan (t)$ 。

$2 (- t + C + \tan (t) + C)$

解题步骤 12

化简。

$2 (- t + \tan (t)) + C$

解题步骤 13

使用 $arcsec (\frac{x}{2})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \tan (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $arcsec (\frac{x}{2})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ 为 $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ 。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}) + C$

解题步骤 14.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}) + C$

解题步骤 14.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{x}{2}$ 和 $b = 1$ 。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

解题步骤 14.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

解题步骤 14.1.5

在公分母上合并分子。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

解题步骤 14.1.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}) + C$

解题步骤 14.1.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}) + C$

解题步骤 14.1.8

在公分母上合并分子。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}) + C$

解题步骤 14.1.9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}) + C$

解题步骤 14.1.10

将 $\frac{x + 2}{2}$ 乘以 $\frac{x - 2}{2}$ 。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}) + C$

解题步骤 14.1.11

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}) + C$

解题步骤 14.1.12

将 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ 。

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解题步骤 14.1.12.1

从 $(x + 2) (x - 2)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}) + C$

解题步骤 14.1.12.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}) + C$

解题步骤 14.1.12.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}) + C$

解题步骤 14.1.13

从根式下提出各项。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) + C$

解题步骤 14.1.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

解题步骤 14.2

要将 $- arcsec (\frac{x}{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

解题步骤 14.3

组合 $- arcsec (\frac{x}{2})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

解题步骤 14.4

在公分母上合并分子。

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

解题步骤 14.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.5.1

约去公因数。

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

解题步骤 14.5.2

重写表达式。

$- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

解题步骤 14.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

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