微积分学示例

$\int \frac{1}{1 - \sin (x)} d x$

解题步骤 1

使用正弦倍角公式。

$\int \frac{1}{1 - (2 (\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})))} d x$

解题步骤 2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 3

将自变量乘以 $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

合并。

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 4.2

将 ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 {\sec (\frac{x}{2})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {\sec (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

解题步骤 5.2

将 ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

将 $\sec (\frac{x}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 6.2

对 $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 6.3

一的任意次幂都为一。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 6.4

将 $\sec (\frac{x}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

解题步骤 6.5

对 $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 6.6

一的任意次幂都为一。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 6.7

约去 $\cos (\frac{x}{2})$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.1

从 $- 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$ 中分解出因数 $\cos (\frac{x}{2})$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 6.7.2

从 $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ 中分解出因数 $\cos (\frac{x}{2})$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 6.7.3

约去公因数。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 6.7.4

重写表达式。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 6.8

组合 $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ 和 $- 2$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})} \sin (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 6.9

组合 $\frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})}$ 和 $\sin (\frac{x}{2})$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 6.10

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ 转换成 $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 8

将 $\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ 转换成 $2 \tan (\frac{x}{2})$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

解题步骤 9

将 $\sec^{2} (x)$ 变形为 $1 + \tan^{2} (x)$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

解题步骤 10

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \tan (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 11

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 11.1

重新整理项。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 11.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 11.3

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 \tan (\frac{x}{2}) = 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2})$

解题步骤 11.4

重写多项式。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 11.5

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \tan (\frac{x}{2})$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(1 - \tan (\frac{x}{2}))}^{2}} d x$

解题步骤 12

使 $u_{1} = \frac{x}{2}$ 。然后使 $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ ，以便 $2 d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 12.1

设 $u_{1} = \frac{x}{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

对 $\frac{x}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 12.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 12.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 12.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 12.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} (1 \cdot 2) d u_{1}$

解题步骤 13.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot 2 d u_{1}$

解题步骤 13.3

组合 $\frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 13.4

将 $2$ 移到 $\sec^{2} (u_{1})$ 的左侧。

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 14

由于 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 15

使 $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = - \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ ，以便 $- \frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 15.1

设 $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 15.1.1

对 $1 - \tan (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - \tan (u_{1})]$

解题步骤 15.1.2

求微分。

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解题步骤 15.1.2.1

根据加法法则， $1 - \tan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

解题步骤 15.1.2.2

因为 $1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

解题步骤 15.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ 。

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解题步骤 15.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- \tan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $- \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$ 。

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

解题步骤 15.1.3.2

$\tan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{1})$ 。

$0 - \sec^{2} (u_{1})$

解题步骤 15.1.4

从 $0$ 中减去 $\sec^{2} (u_{1})$ 。

$- \sec^{2} (u_{1})$

解题步骤 15.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$2 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 16

将负号移到分数的前面。

$2 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 17

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

解题步骤 18

化简表达式。

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解题步骤 18.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 18.2

通过将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

解题步骤 18.3

将 ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 18.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

解题步骤 18.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

解题步骤 19

根据幂法则， ${u_{2}}^{- 2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $- {u_{2}}^{- 1}$ 。

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

将 $- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ 重写为 $- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ 。

$- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

解题步骤 20.2

化简。

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解题步骤 20.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \frac{1}{u_{2}} + C$

解题步骤 20.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{2}{u_{2}} + C$

解题步骤 21

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 21.1

使用 $1 - \tan (u_{1})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2}{1 - \tan (u_{1})} + C$

解题步骤 21.2

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{x}{2})} + C$

解题步骤 22

重新排序项。

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{1}{2} x)} + C$

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