微积分学示例

$y = \tan (x)$

解题步骤 1

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f' (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\sec (x))$

解题步骤 2.1.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

解题步骤 2.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f'' (x) = 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

解题步骤 2.3

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x)$

解题步骤 2.4

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x)$

解题步骤 2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

解题步骤 2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ 。

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x) \tan (x))$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{2} (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$f''' (x) = 2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

解题步骤 3.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f''' (x) = 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = 2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

解题步骤 3.5.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

解题步骤 3.6

将 $2$ 移到 $\tan (x)$ 的左侧。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot (\tan (x) \sec (x)) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

解题步骤 3.7

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 3.8

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

解题步骤 3.9

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

解题步骤 3.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

解题步骤 3.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

解题步骤 3.12

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec (x) \sec (x)))$

解题步骤 3.13

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec (x) \sec (x)))$

解题步骤 3.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 3.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

解题步骤 3.16

化简。

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解题步骤 3.16.1

运用分配律。

$f''' (x) = 2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

解题步骤 3.16.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = 2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 3.16.3

重新排序项。

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ 。

$f^{4} (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{2} (x)$ 且 $g (x) = \tan^{2} (x)$ 。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (x)$ 。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.3.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.4

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sec (x)$ 。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.5.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.6

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.7

通过指数相加将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.2.7.1

移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = 4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.7.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.8

将 $2$ 移到 $\sec^{4} (x)$ 的左侧。

$f^{4} (x) = 4 (2 \cdot (\sec^{4} (x) \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.9

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.10

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.13

通过指数相加将 $\tan^{2} (x)$ 乘以 $\tan (x)$ 。

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解题步骤 4.2.13.1

移动 $\tan (x)$ 。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.13.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $\tan^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.2.13.2.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.13.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.13.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.2.14

将 $2$ 移到 $\tan^{3} (x)$ 的左侧。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sec^{4} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ 。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\sec^{4} (x))$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\sec (x)$ 。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{4}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

解题步骤 4.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

解题步骤 4.3.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 4.3.4

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec (x) \sec^{3} (x)) \tan (x))$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x))$

解题步骤 4.3.6

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x))$

解题步骤 4.3.7

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.4.2

合并项。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f^{4} (x) = 8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.4.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f^{4} (x) = 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.4.2.3

将 $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ 和 $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ 相加。

$f^{4} (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

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