微积分学示例

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} + 5 e^{5 x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{3}}$ 重写成 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

解题步骤 2.2

通过将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

解题步骤 2.3

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

解题步骤 2.3.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

解题步骤 2.3.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{- \frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int 5 e^{5 x} d x$

解题步骤 4

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{5 x} d x$

解题步骤 5

使 $u = 5 x$ 。然后使 $d u = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

设 $u = 5 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

对 $5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

解题步骤 6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

解题步骤 8.2

约去 $5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

约去公因数。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

解题步骤 8.2.2

重写表达式。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 1 \int e^{u} d u$

解题步骤 8.3

将 $\int e^{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int e^{u} d u$

解题步骤 9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + e^{u} + C$

解题步骤 10

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

化简。

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

解题步骤 10.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

解题步骤 10.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

解题步骤 11

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{5 x} + C$

微积分学 示例

微积分学示例