微积分学示例

$f (x) = x \sin (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1$

解题步骤 1.3.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x \cos (x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

解题步骤 2.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

解题步骤 2.2.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

解题步骤 2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $\cos (x)$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$f'' (x) = - x \sin (x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- x \sin (x) + 2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 。

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f''' (x) = - (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 3.2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 3.2.5

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

解题步骤 3.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 (- \sin (x))$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 \sin (x)$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$f''' (x) = - (x \cos (x)) - \sin (x) - 2 \sin (x)$

解题步骤 3.4.2

从 $- \sin (x)$ 中减去 $2 \sin (x)$ 。

$f''' (x) = - x \cos (x) - 3 \sin (x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $- x \cos (x) - 3 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

解题步骤 4.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$f^{4} (x) = - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

解题步骤 4.2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

解题步骤 4.2.5

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

解题步骤 4.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \cos (x)$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x))) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

解题步骤 4.4.2

合并项。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = 1 (x (\sin (x))) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

解题步骤 4.4.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = x \sin (x) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

解题步骤 4.4.2.3

从 $- \cos (x)$ 中减去 $3 \cos (x)$ 。

$f^{4} (x) = x \sin (x) - 4 \cos (x)$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $x \sin (x) - 4 \cos (x)$ 。

$x \sin (x) - 4 \cos (x)$

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