微积分学示例

$y \sqrt{x + 1} = 4$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 4$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = y$ 且 $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.7

合并分数。

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解题步骤 3.7.1

将负号移到分数的前面。

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$y (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$y (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.7.4

组合 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.8

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.11

化简表达式。

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解题步骤 3.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.11.2

将 $\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.12

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$

解题步骤 3.13

重新排序项。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

化简 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

要将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.2

化简项。

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解题步骤 6.1.2.1

组合 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ 和 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.3

化简分子。

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解题步骤 6.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.3.2

通过指数相加将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.1.3.2.1

移动 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.3.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.3.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.3.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{2 {(x + 1)}^{1} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.3.3

化简 $2 {(x + 1)}^{1} y'$ 。

$\frac{2 (x + 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.3.4

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x + 2) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.3.6

运用分配律。

$\frac{2 x y' + 2 y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.2

将分子设为等于零。

$2 x y' + 2 y' + y = 0$

解题步骤 6.3

求解 $y'$ 的方程。

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解题步骤 6.3.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$2 x y' + 2 y' = - y$

解题步骤 6.3.2

从 $2 x y' + 2 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $2 x y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' x + 2 y' = - y$

解题步骤 6.3.2.2

从 $2 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' x + 2 y' \cdot 1 = - y$

解题步骤 6.3.2.3

从 $2 y' x + 2 y' \cdot 1$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (x + 1) = - y$

解题步骤 6.3.3

将 $2 y' (x + 1) = - y$ 中的每一项除以 $2 (x + 1)$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $2 y' (x + 1) = - y$ 中的每一项都除以 $2 (x + 1)$ 。

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

解题步骤 6.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

解题步骤 6.3.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

解题步骤 6.3.3.2.2

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

解题步骤 6.3.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

解题步骤 6.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y}{2 (x + 1)}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 (x + 1)}$

微积分学 示例

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