微积分学示例

$\sin (x + y) = y^{2} \cos (x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} \cos (x))$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x + y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + y$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\cos (x + y) (1 + y')$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = y^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.4

将 $2$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$y^{2} (- \sin (x)) + 2 \cdot \cos (x) y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y^{2} (- \sin (x)) + 2 \cos (x) y y'$

解题步骤 3.6

重新排序项。

$- y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

化简 $\cos (x + y) (1 + y')$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

重写。

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

解题步骤 5.1.1.2

通过加上各个零进行化简。

$\cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

解题步骤 5.1.1.3

运用分配律。

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

解题步骤 5.1.1.4

化简表达式。

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解题步骤 5.1.1.4.1

将 $\cos (x + y)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

解题步骤 5.1.1.4.2

将 $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ 中的因式重新排序。

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

将 $- y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$ 中的因式重新排序。

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = - y^{2} \sin (x) + 2 y y' \cos (x)$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $2 y y' \cos (x)$ 。

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x)$

解题步骤 5.4

从等式两边同时减去 $\cos (x + y)$ 。

$y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

解题步骤 5.5

从 $y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $y' \cos (x + y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (\cos (x + y)) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

解题步骤 5.5.2

从 $- 2 y y' \cos (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (\cos (x + y)) + y' (- 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

解题步骤 5.5.3

从 $y' (\cos (x + y)) + y' (- 2 y \cos (x))$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

解题步骤 5.6

将 $y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$ 中的每一项除以 $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ 并化简。

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解题步骤 5.6.1

将 $y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$ 中的每一项都除以 $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ 。

$\frac{y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

解题步骤 5.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.1

约去 $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

解题步骤 5.6.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

解题步骤 5.6.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.6.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

解题步骤 5.6.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

解题步骤 5.6.3.2

化简项。

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解题步骤 5.6.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

解题步骤 5.6.3.2.2

从 $- y^{2} \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x)) - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

解题步骤 5.6.3.2.3

从 $- \cos (x + y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x)) - (\cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

解题步骤 5.6.3.2.4

从 $- (y^{2} \sin (x)) - (\cos (x + y))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

解题步骤 5.6.3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 5.6.3.2.5.1

将 $- (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))$ 重写为 $- 1 (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))$ 。

$y' = \frac{- 1 (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

解题步骤 5.6.3.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x) + \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} \sin (x) + \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

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