微积分学示例

$x y + 2 x + 3 y = 1$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x y + 2 x + 3 y) = \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x y + 2 x + 3 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

解题步骤 2.2.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x y' + y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x y' + y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x y' + y + 2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 y]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$x y' + y + 2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y + 2 + 3 y'$

解题步骤 2.5

重新排序项。

$x y' + y + 3 y' + 2$

解题步骤 3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x y' + y + 3 y' + 2 = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x y' + 3 y' + 2 = - y$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x y' + 3 y' = - y - 2$

解题步骤 5.2

从 $x y' + 3 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x + 3 y' = - y - 2$

解题步骤 5.2.2

从 $3 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x + y' \cdot 3 = - y - 2$

解题步骤 5.2.3

从 $y' x + y' \cdot 3$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x + 3) = - y - 2$

解题步骤 5.3

将 $y' (x + 3) = - y - 2$ 中的每一项除以 $x + 3$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $y' (x + 3) = - y - 2$ 中的每一项都除以 $x + 3$ 。

$\frac{y' (x + 3)}{x + 3} = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x + 3)}{x + 3} = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- y - 2}{x + 3}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y) - 2}{x + 3}$

解题步骤 5.3.3.3

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$y' = \frac{- (y) - 1 (2)}{x + 3}$

解题步骤 5.3.3.4

从 $- (y) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y + 2)}{x + 3}$

解题步骤 5.3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.5.1

将 $- (y + 2)$ 重写为 $- 1 (y + 2)$ 。

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{x + 3}$

解题步骤 5.3.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y + 2}{x + 3}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + 2}{x + 3}$

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