微积分学示例

$\tan (4 x + y) = 4 x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\tan (4 x + y)) = \frac{d}{d x} (4 x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 4 x + y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x + y$ 。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x + y]$

解题步骤 2.1.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x + y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $4 x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (4 x + y) \frac{d}{d x} [4 x + y]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $4 x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\sec^{2} (4 x + y) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sec^{2} (4 x + y) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec^{2} (4 x + y) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$ 中的每一项除以 $\sec^{2} (4 x + y)$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1

将 $\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$ 中的每一项都除以 $\sec^{2} (4 x + y)$ 。

$\frac{\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')}{\sec^{2} (4 x + y)} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

约去 $\sec^{2} (4 x + y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')}{\sec^{2} (4 x + y)} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

解题步骤 5.1.2.1.2

用 $4 + y'$ 除以 $1$ 。

$4 + y' = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$y' = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)} - 4$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)} - 4$

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