微积分学示例

$x^{3} - 3 x^{2} y + 2 x y^{2} = 12$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} y + 2 x y^{2}) = \frac{d}{d x} (12)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 3 x^{2} y + 2 x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.7

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (2 x y y' + y^{2})$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 2 (2 x y y' + y^{2})$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 2 (2 x y y') + 2 y^{2}$

解题步骤 2.4.3

合并项。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 (y x) + 2 (2 x y y') + 2 y^{2}$

解题步骤 2.4.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 y x + 4 x y y' + 2 y^{2}$

解题步骤 2.4.4

重新排序项。

$3 x^{2} + 2 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 4 x y y'$

解题步骤 3

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 x^{2} + 2 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 4 x y y' = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$2 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 4 x y y' = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $2 y^{2}$ 。

$- 3 x^{2} y' - 6 x y + 4 x y y' = - 3 x^{2} - 2 y^{2}$

解题步骤 5.1.3

在等式两边都加上 $6 x y$ 。

$- 3 x^{2} y' + 4 x y y' = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$

解题步骤 5.2

从 $- 3 x^{2} y' + 4 x y y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 3 x^{2} y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (- 3 x) + 4 x y y' = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$

解题步骤 5.2.2

从 $4 x y y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (- 3 x) + x y' (4 y) = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$

解题步骤 5.2.3

从 $x y' (- 3 x) + x y' (4 y)$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (- 3 x + 4 y) = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$

解题步骤 5.3

将 $x y' (- 3 x + 4 y) = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$ 中的每一项除以 $x (- 3 x + 4 y)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $x y' (- 3 x + 4 y) = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$ 中的每一项都除以 $x (- 3 x + 4 y)$ 。

$\frac{x y' (- 3 x + 4 y)}{x (- 3 x + 4 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y' (- 3 x + 4 y)}{x (- 3 x + 4 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (- 3 x + 4 y)}{- 3 x + 4 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $- 3 x + 4 y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (- 3 x + 4 y)}{- 3 x + 4 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- 3 x)}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{x (- 3 x)}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- 3 x}{- 3 x + 4 y} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.4.1

约去公因数。

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.4.2

重写表达式。

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

解题步骤 5.3.3.2

要将 $- \frac{3 x}{- 3 x + 4 y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

解题步骤 5.3.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(- 3 x + 4 y) x$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 $\frac{3 x}{- 3 x + 4 y}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = - \frac{3 x \cdot x}{(- 3 x + 4 y) x} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

解题步骤 5.3.3.3.2

重新排序 $(- 3 x + 4 y) x$ 的因式。

$y' = - \frac{3 x \cdot x}{x (- 3 x + 4 y)} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

解题步骤 5.3.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 3 x \cdot x - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

解题步骤 5.3.3.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.5.1

移动 $x$ 。

$y' = \frac{- 3 (x \cdot x) - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

解题步骤 5.3.3.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

解题步骤 5.3.3.6

要将 $\frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 5.3.3.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (- 3 x + 4 y)$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.7.1

将 $\frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y x}{(- 3 x + 4 y) x}$

解题步骤 5.3.3.7.2

重新排序 $(- 3 x + 4 y) x$ 的因式。

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.8

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.9

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 2 y^{2} + 6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.10

从 $- 2 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (2 y^{2}) + 6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.11

从 $- (3 x^{2}) - (2 y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (3 x^{2} + 2 y^{2}) + 6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.12

从 $6 y x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (3 x^{2} + 2 y^{2}) - (- 6 y x)}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.13

从 $- (3 x^{2} + 2 y^{2}) - (- 6 y x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.14

将 $- (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)$ 。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- 3 x + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.15

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- (3 x) + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.16

从 $4 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- (3 x) - (- 4 y))}$

解题步骤 5.3.3.17

从 $- (3 x) - (- 4 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- (3 x - 4 y))}$

解题步骤 5.3.3.18

将 $- (3 x - 4 y)$ 重写为 $- 1 (3 x - 4 y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- 1 (3 x - 4 y))}$

解题步骤 5.3.3.19

约去公因数。

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- 1 (3 x - 4 y))}$

解题步骤 5.3.3.20

重写表达式。

$y' = \frac{3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x}{x (3 x - 4 y)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x}{x (3 x - 4 y)}$

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