微积分学示例

$x \cos (2 x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (2 x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cdot 1$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $\cos (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)$

解题步骤 3.6.2

重新排序项。

$- 2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)$

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