微积分学示例

$y = 2^{3^{x^{2}}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 2^{x}$ 且 $g (x) = 3^{x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3^{x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [2^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$2^{u_{1}} \ln (2) \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 $3^{x^{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 3^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2}$ 。

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (\frac{d}{d u_{2}} [3^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{u_{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) (2 x))$

解题步骤 4

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$2^{1} \cdot 2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) (x))$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{1 + 3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) (x))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序 $2^{1 + 3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) (x))$ 的因式。

$2^{1 + 3^{x^{2}}} \cdot 3^{x^{2}} x \ln (2) \ln (3)$

解题步骤 6.2

将 $2^{1 + 3^{x^{2}}} \cdot 3^{x^{2}} x \ln (2) \ln (3)$ 中的因式重新排序。

$x \cdot 2^{1 + 3^{x^{2}}} \cdot 3^{x^{2}} \ln (2) \ln (3)$

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