微积分学示例

$y = \ln (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ 。

$1 \frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

解题步骤 3

将 $\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

解题步骤 4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + e^{x}$ 且 $g (x) = 1 - e^{x}$ 。

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}] - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $1 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

根据加法法则， $1 - e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 。

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 相加。

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.5

乘。

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解题步骤 7.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + 1 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

解题步骤 7.5.2

将 $1 + e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

解题步骤 8

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

解题步骤 9

将 $\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$ 乘以 $\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$ 。

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 + e^{x}) {(1 - e^{x})}^{2}}$

解题步骤 10

约去公因数。

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解题步骤 10.1

从 $(1 + e^{x}) {(1 - e^{x})}^{2}$ 中分解出因数 $1 - e^{x}$ 。

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 - e^{x}) ((1 + e^{x}) (1 - e^{x}))}$

解题步骤 10.2

约去公因数。

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 - e^{x}) ((1 + e^{x}) (1 - e^{x}))}$

解题步骤 10.3

重写表达式。

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + 1 e^{x} + e^{x} e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

解题步骤 11.3

化简分子。

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解题步骤 11.3.1

合并 $1 e^{x} - e^{x} e^{x} + 1 e^{x} + e^{x} e^{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 11.3.1.1

将 $- e^{x} e^{x}$ 和 $e^{x} e^{x}$ 相加。

$\frac{1 e^{x} + 1 e^{x} + 0}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

解题步骤 11.3.1.2

将 $1 e^{x} + 1 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1 e^{x} + 1 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

解题步骤 11.3.2

化简每一项。

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解题步骤 11.3.2.1

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} + 1 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

解题步骤 11.3.2.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

解题步骤 11.3.3

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$\frac{2 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

微积分学 示例

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