微积分学示例

$x^{2} {(x - 2)}^{4}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(x - 2)}^{4}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{4}] + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 2$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} \cdot 1) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{4} (2 x)$

解题步骤 3.6

将 $2$ 移到 ${(x - 2)}^{4}$ 的左侧。

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + 2 \cdot {(x - 2)}^{4} x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + 2 {(x - 2)}^{4} x$ 中分解出因数 $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $x^{2} (4 {(x - 2)}^{3})$ 中分解出因数 $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ 。

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + 2 {(x - 2)}^{4} x$

解题步骤 4.1.2

从 $2 {(x - 2)}^{4} x$ 中分解出因数 $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ 。

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x - 2)$

解题步骤 4.1.3

从 $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x - 2)$ 中分解出因数 $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ 。

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2) + x - 2)$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 \cdot x {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2) + x - 2)$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x {(x - 2)}^{3} (2 \cdot x + x - 2)$

解题步骤 4.2.3

将 $2 x$ 和 $x$ 相加。

$2 x {(x - 2)}^{3} (3 x - 2)$

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