微积分学示例

$e^{3 t \sin (2 t)}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 3 t \sin (2 t)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 t \sin (2 t)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

解题步骤 1.3

使用 $3 t \sin (2 t)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{3 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t \sin (2 t)$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$ 。

$e^{3 t \sin (2 t)} (3 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)])$

解题步骤 2.2

将 $3$ 移到 $e^{3 t \sin (2 t)}$ 的左侧。

$3 \cdot e^{3 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = \sin (2 t)$ 。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t \frac{d}{d t} [\sin (2 t)] + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 t$ 。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \cdot 1)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \cdot 2) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5.3.2

将 $2$ 移到 $\cos (2 t)$ 的左侧。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cdot \cos (2 t)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t) \cdot 1)$

解题步骤 5.5

将 $\sin (2 t)$ 乘以 $1$ 。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t))) + 3 e^{3 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 e^{3 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 3 e^{3 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

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