微积分学示例

$\sin^{2} (e^{\sin^{2} (t)})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \sin (e^{\sin^{2} (t)})$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (e^{\sin^{2} (t)})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (e^{\sin^{2} (t)})]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sin (e^{\sin^{2} (t)})]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (e^{\sin^{2} (t)})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [\sin (e^{\sin^{2} (t)})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = e^{\sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $e^{\sin^{2} (t)}$ 。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [e^{\sin^{2} (t)}])$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [e^{\sin^{2} (t)}])$

解题步骤 2.3

使用 $e^{\sin^{2} (t)}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) (\cos (e^{\sin^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [e^{\sin^{2} (t)}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = \sin^{2} (t)$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\sin^{2} (t)$ 。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [\sin^{2} (t)])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [\sin^{2} (t)])$

解题步骤 3.3

使用 $\sin^{2} (t)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) (e^{\sin^{2} (t)} \frac{d}{d t} [\sin^{2} (t)])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \sin (t)$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{4}$ 设为 $\sin (t)$ 。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ 等于 $n {u_{4}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (2 u_{4} \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

解题步骤 4.3

使用 $\sin (t)$ 替换所有出现的 $u_{4}$ 。

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (2 \sin (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

解题步骤 5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (\sin (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

解题步骤 6

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$4 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} \sin (t) \cos (t)$

解题步骤 7

重新排序 $4 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} \sin (t) \cos (t)$ 的因式。

$4 e^{\sin^{2} (t)} \cos (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (t) \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \sin (t)$

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