微积分学示例

$y = 3 x (6 x - 5 x^{2})$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x (6 x - 5 x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x (6 x - 5 x^{2})]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x (6 x - 5 x^{2})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 6 x - 5 x^{2}$ 。

$3 (x \frac{d}{d x} [6 x - 5 x^{2}] + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $6 x - 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

$3 (x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$3 (x (6 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 (x (6 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (x (6 - 5 (2 x)) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$3 (x (6 - 10 x) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x (6 - 10 x) + (6 x - 5 x^{2}) \cdot 1)$

解题步骤 3.9

将 $6 x - 5 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 (x (6 - 10 x) + 6 x - 5 x^{2})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$3 (x \cdot 6 + x (- 10 x) + 6 x - 5 x^{2})$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$3 (x \cdot 6) + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 (6 \cdot x) + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

解题步骤 4.3.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$18 x + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

解题步骤 4.3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$18 x + 3 (- 10 (x^{1} x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

解题步骤 4.3.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$18 x + 3 (- 10 (x^{1} x^{1})) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$18 x + 3 (- 10 x^{1 + 1}) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

解题步骤 4.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$18 x + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

解题步骤 4.3.7

将 $- 10$ 乘以 $3$ 。

$18 x - 30 x^{2} + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

解题步骤 4.3.8

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$18 x - 30 x^{2} + 18 x + 3 (- 5 x^{2})$

解题步骤 4.3.9

将 $18 x$ 和 $18 x$ 相加。

$- 30 x^{2} + 36 x + 3 (- 5 x^{2})$

解题步骤 4.3.10

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$- 30 x^{2} + 36 x - 15 x^{2}$

解题步骤 4.3.11

从 $- 30 x^{2}$ 中减去 $15 x^{2}$ 。

$- 45 x^{2} + 36 x$

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